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Un movimiento elíptico es un caso de movimiento acotado en el que una partícula describe una trayectoria elíptica. Existen diversos sistemas físicos donde sucede esto, entre ellos el movimiento planetario en un potencial gravitatorio newtoniano y el movimiento en un campo potencial armónico, ambos son ejemplos de campos de fuerza centrales.

Cada planeta tiene una distancia al sol, el período al cubo es proporcional a la distancia de cada planeta al sol. La constante gravitacional nunca varía.
 
Problema Planteado:El período de revolución de Júpiter alrededor del Sol es igual a
770 días y la distancia de la Tierra al sol  es de 250,000,000
de kilométros. Calcular la distancia del sol a Júpiter, si sabemos
que el período de órbita de la Tierra es de 2 años.

Datos:
RJ=?
TJ=770 días = 2 años
RT=250,000,000 km
TT=2 años  

Fórmula a usar:
RJ=√TJ^2.RT^3/TT^2
RJ=√(2años)^2.(250,000,000km)^3/(2años)^2
RJ=√(4años).(2.5x10^8 km)^3/(4años)
RJ=√(4años).(15.625x10^24 km)/4años)
RJ=√(62.5años/km)/4años)
RJ=√(15.625km))
RJ=3.9528km

Ejercicios Propuestos:
1-El período de revolución de Saturno alrededor de la Tierra es igual a
790 días y la distancia de la Tierra a Saturno  es de 4.8x10^8
de kilométros. Calcular la distancia de la Tierra a Saturno, si sabemos
que el período de órbita de la Tierra es de 1 año.

2-La distancia  al sol de dos planetas es 10 veces la distancia al sol de la tierra. Que tiempo tarda ese planeta en dar 3 vueltas alrededor al sol, si la distancia al sol a la Tierra es de 2.5 x10^3 km y el periodo de la tierra es de 700 días.

 Fórmulas que pueden usar:
Constante Gravitacional: K= T^2/R^3
Período de Orbita: T=√R^3.T^2/R^3
Distancia de los Planetas:R=√T^2.R^3/T^2

Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme.
En realidad, cuando se habla de cuerpos que se mueven en un campo gravitatorio central (como el de La Tierra), el movimiento es elíptico. En la superficie de la Tierra, ese movimiento es tan parecido a una parábola que perfectamente podemos calcular su trayectoria usando la ecuación matemática de una parábola. La ecuación de una elipse es bastante más compleja. Al lanzar una piedra al aire, la piedra intenta realizar una elipse en uno de cuyos focos está el centro de la Tierra. Al realizar esta elipse inmediatamente choca con el suelo y la piedra se para, pero su trayectoria es en realidad un "trozo" de elipse. Es cierto que ese "trozo" de elipse es casi idéntico a un "trozo" de parábola. Por ello utilizamos la ecuación de una parábola y lo llamamos "tiro parabólico". Si nos alejamos de la superficie de la Tierra sí tendríamos que utilizar una elipse(como en el caso de los satélites artificiales).

El tiro parabólico tiene las siguientes características:

• Conociendo la velocidad de salida (inicial), el ángulo de inclinación inicial y la diferencia de alturas (entre salida y llegada) se conocerá toda la trayectoria.
• Los ángulos de salida y llegada son iguales (siempre que la altura de salida y de llegada sean iguales)
• La mayor distancia cubierta o alcance se logra con ángulos de salida de 45º.
• Para lograr la mayor distancia fijado el ángulo el factor más importante es la velocidad.
• Se puede analizar el movimiento en vertical independientemente del horizontal.

Ejemplos

 

Movimiento circular

En cinemática, el movimiento circular (también llamado movimiento circunferencial) es el que se basa en un eje de giro y radio constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia. Si además, la velocidad de giro es constante (giro ondulatorio), se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio y centro fijos y velocidad angular constante.

Existen diferentes variables o conceptos muy importantes para explicar el movimiento circular:

§ Eje: punto fijo en el centro de la circunferencia por la que gira el cuerpo.

§ Radio: distancia a la que gira el punto P sobre el eje O (en nuestro caso r).

§ Posición: punto P en el que se encuentra la partícula.

§ Velocidad angular: define la variación angular por unidad de tiempo (ω).

§ Velocidad tangencial: es el módulo de la velocidad en cualquier punto del giro y viene definido como el recorrido, en unidades de longitud, que describe P por unidad de tiempo (v_t).

§ Aceleración angular: es el incremento de velocidad angular por unidad de tiempo (α).

§ Aceleración tangencial: se define como el incremento de velocidad lineal por unidad de tiempo (a_t).

§ Aceleración centrípeta: componente que va dirigida hacia el centro de la circunferencia. Representa el cambio de dirección del vector velocidad (a_cen).

§ Período: tiempo T que tarda la partícula en dar una vuelta al círculo.

§ Frecuencia: número de vueltas f que recorre la partícula en una unidad de tiempo. Se expresa en ciclos/seg o hertzios.

Ejemplo:

 El ciclo de giro de una labadora cambia de 900rpm a 300 rpm en 50 revoluciones. Calcule la aceleracion angular.

   

     Fórmula:                      Datos:                                 Solución:

   Aa =  wf-wi/t             wf= 300 rpm                       Aa= 300 rpm - 900 rpm/50 revoluciones                                                            wi= 900 rpm                       Aa=-600/50

                                        t= 50   revoluciones            Aa= - 12 rpm

En este tipo de movimiento a diferencia del MRU (movimiento rectilíneo uniforme), la velocidad varía. Pero esta variación a su vez es con un cierto orden, es decir que cambia un mismo intervalo en una misma cantidad de tiempo.

Por este hecho aparece una nueva magnitud llamada aceleración.

La aceleración está representada por la fórmula:
a = (Vf – Vi) / T
La a es la aceleración, Vi es la velocidad del inicio y Vf es la velocidad final.


Para calcular la distancia recorrida se usa la siguiente fórmula:
D = Vi . T +/- ½ . a . T²
El signo positivo del segundo miembro se usa cuando el movimiento experimenta un aumento en su velocidad. Es una aceleración positiva. El signo menos se usa en situaciones de descenso de la velocidad, o sea una aceleración negativa. Aquí vemos otra diferencia con respecto al MRU en el cual la distancia se calcula de forma mucho más sencilla.
Con respecto a los gráficos, también veremos otros distintos.
La gráfica de la distancia en función del tiempo tiene una forma parabólica. Esto es porque en la formula de la distancia podemos observar que la relación entre la distancia y el tiempo es cuadrática, o sea, responde a una función cuadrática. Cuando se tienen valores reales es importante colocar la unidad de cada magnitud. Para la distancia por ejemplo en metros y para el tiempo en segundos.

Cuando graficamos la velocidad versus el tiempo observaremos que esta relación corresponde a una función lineal. Ya que se arma a partir de la fórmula de aceleración. La velocidad puede expresarse en mts/seg o Km/h y el tiempo en horas o en segundos.

El último gráfico es la relación entre la aceleración y el tiempo. Para entenderlo mejor se grafica un ejemplo con valores. La a se expresa en mts/seg² y el tiempo en seg. Se ve que un móvil que posee una a de 2 mts/seg² y luego de un tiempo frena cambiando a una a negativa de por ejemplo 3 mts/seg².
Problemas:
Calcula la distancia recorrida por un móvil que parte de reposo y alcanza una velocidad de 52 Km/h en 5 segundos.
Usaremos la formula:
D = Vi . T +/- ½ . a . T²
Tenemos como datos la velocidad final y el tiempo. Como el móvil parte del reposo su velocidad inicial es 0, por lo tanto el primer termino se anula.
D = + ½ . a . T²
El signo de la aceleración queda positivo ya que la velocidad aumenta de 0 al valor final de 52 Km/h.
La aceleración no la tenemos pero la podemos calcular. Para esto será conveniente previamente pasar la unidad de velocidad de Km/h a mts/seg para que sea compatible con el tiempo que est expresado en segundos.
Ahora procedemos a calcular la aceleración:
D = + ½ . 2,89 mts/seg2 . (5 seg)²
D = 36.125 mts.
Calcula la velocidad final de un móvil que viajando a una velocidad de 22 mts/seg acelera a razón de 2 mts/seg² en 4 seg.
De la formula de aceleración hay que despejar la velocidad final.
a = (Vf – Vi) / T
Vf = a x T + Vi
Vf = 2 mts/seg² x 4 seg + 22 mts/seg
Vf = 30 mts/seg

LA ENERGIA

Para la física, la energía es una magnitud abstracta que está ligada al estado dinámico de un sistema cerrado y que permanece invariable con el tiempo. Se trata de una abstracción que se le asigna al estado de un sistema físico. Debido a diversas propiedades (composición química, masa, temperatura, etc.), todos los cuerpos poseen energía.

Energía Cinética:

Se conoce como Energía Cinética a aquella que poseerá cualquier cuerpo como consecuencia de su movimiento y por caso dependerá de la masa y la velocidad que presenten el mismo. Entonces, se trata de la energía que está estrechamente vinculada con los cuerpos que se hallan en movimiento.

Energía Potencial:

La Energía Potencial es la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo de acuerdo a la configuración que ostente en el sistema de cuerpos que ejercen fuerzas entre sí, es decir, la energía potencial es la energía que es capaz de generar un trabajo como consecuencia de la posición de un cuerpo. A la misma puede considerársela como la energía almacenada en el sistema o la medida de un trabajo que el sistema puede ofrecer.

Energía Mecánica:

La energía mecánica es la energía que presentan los cuerpos en razón de su movimiento (energía cinética), de su situación respecto de otro cuerpo, generalmente la tierra, o de su estado de deformación, en el caso de los cuerpos elásticos. Es decir, la energía mecánica es la suma de las energías potencial (energía almacenada en un sistema), cinética (energía que surge en el mismo movimiento) y la elástica de un cuerpo en movimiento.

ejercicios de las energias cinetica y potencial

energia cinetica

1-Un camión va 160 m/seg y tiene un peso de 500kg. 
 Calcula la energía cinectica 

2-Un carro de golf de 200kg. va a una velocidad de 10m/seg. 
 ¿Cual es la Ec? 


3-un carro de 500kg va a una velocidad de 60m/seg¿calcula la energia cinetica ? 

energia potencial

1-¿Cuál es la energía potencial que tiene un ascensor de 800 Kg situado a 380 m sobre el suelo? Suponemos que la energía potencial en el suelo es 0.

2-Calcula la energía potencial de un martillo de 1,5 kg de masa cuando se halla situado a una altura de 2 m sobre el suelo.

3- ¿A qué altura debe de estar elevada una maceta que tiene una masa de 5Kg para que su energía potencial sea de 80 Julios?

Ejemplos de las energias cinetica y potencial 

Energia Cinetica

1. Una maceta se cae de un balcón a una velocidad de 9.81 m/s adquiriendo una energía cinética de 324. ¿Cuál es su masa?
Datos:
V= 9.81 m/s                                            Ec= ½ mv2
M=?                                                          324=( ½ )*m*(9.81m/s)                                                                  
                                                                  M= 324/(0.5*96.23)
                                                                  M= 6.73



2. Calcula la energía cinética de un coche de 500 kg de masa que se mueve a una velocidad de 100 km/h. 
Datos:                                                       Ec= ½ *m*v2
M= 500kg                                                 Ec= ½ (500kg*27.8)2                                                    
V= 100km/h = 27.8                                 Ec= 1921901.23Joules
Ec=? 

3. El conductor de un coche de 650 kg que va a 90 km/h frena y reduce su velocidad a 50 km/h. Calcula: 
a) La energía cinética inicial. 
b) La energía cinética final.
Datos: 
          M=650kg                                   Primero pasamos todo a unidades del sistema internacional
                                                                        90 km/h=90*1000/3600=25 m/s
                                                                          50 km/h=50*1000/3600=13.9 m/s
                                                        -Ahora aplicamos la fórmula de la energía cinética:
                                                                       a) 1/2*m*v^2=1/2*650*25^2=203125 J
                                                                        b) 1/2*m*v^2=1/2*650*13.9^2=62793.3 J



4. Determine la energía cinética de un auto que se desplaza a 3 m/s si su masa es de 345 kilos
                                                                        
   Datos:                                                                       Ec= ½ (m*v)2
   M= 345kg                                                                Ec= 1/2 (345 kg (3m/s)^2) 
   V=3m/s                                                                     Ec=1552.5 J 
   Ec=?


5. si la energía cinética de un velocista de 100 metros planos es de 600 J y sabiendo que su masa es de 75 kg, ¿cuál es la velocidad que adquiere el velocista? 

Datos:                                                                 V2= 2Ec/M
Ec= 600                                                               V2= (1200 Joules / 45kg)
M= 45Kg                                                             V2= √(1200 J/ 45 Kg) 
V=?                                                                      V2= 5.16 m/s

Energia Potencial

1. Calcula la energía potencial que posee un libro de 500 gramos de masa que está colocado sobre una mesa de 80 centímetros de altura.
Datos:                                      
G= 9.8 m/s                                                 Epot= M*g*h
M= 500 gramos                                         Epot= (0.50kg)(9.8m/s2)(0.8m)
H= 80 Centímetros                                   Epot= 3.92 Joules                                              

2. Calcula la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de 30 kg de masa que se encuentra a una altura de 20 m.
Datos:
M= 30kg                                                       Ep= M*g*h
H= 20M                                                         Ep= (30kg)(9.8m/s2)(20m)
G=9.8m/s2                                                          Ep= 5880 Joules

3. Una pesa de 18kg se levanta hasta una altura de 12m y después se suelta en una caída libre. ¿Cuál es su energía potencial?
Datos:
H= 12m                                                    Em=Ep
M=18kg                                                    Ep=M*g*h
G= 9.8m/s2                                             Ep= (18kg)(9.8m/s2)(12m)
                                                                       Ep= 2116.8 Joules

4. A qué altura debe de estar elevado un costal de peso 840 kg para que su energía potencial sea de 34. 354 J.
Datos:                                                                    Ep= m*g*h
H=?                                                                         34.354J= 840kg*9.8m/
M=840kg                                                                        H= 34.354J/840kg*9.8m/s2
              G=9.8m/s2                                                                      H= 4.17                                                                                

Caída Libre

El movimiento de los cuerpos en caída libre (por la acción de su propio peso) es una forma de rectilíneo uniformemente acelerado.

La distancia recorrida (d) se mide sobre la vertical y corresponde, por tanto, a una altura que se representa por la letra h.

En el vacío el movimiento de caída es de aceleración constante, siendo dicha aceleración la misma para todos los cuerpos, independientemente de cuales sean su forma y su peso.

La presencia de aire frena ese movimiento de caída y la aceleración pasa a depender entonces de la forma del cuerpo. No obstante, para cuerpos aproximadamente esféricos, la influencia del medio sobre el movimiento puede despreciarse y tratarse, en una primera aproximación, como si fuera de caída libre.

La aceleración en los movimientos de caída libre, conocida como aceleración de la gravedad, se representa por la letra g y toma un valor aproximado de 9,81 m/s2  (algunos usan solo el valor 9,8 o redondean en 10).

Si el movimiento considerado es de descenso o de caída, el valor de g resulta positivo como corresponde a una auténtica aceleración. Si, por el contrario, es de ascenso en vertical el valor deg se considera negativo, pues se trata, en tal caso, de un movimiento decelerado.

Algunos datos o consejos para resolver problemas de caída libre:

-Recuerda que cuando se informa que “Un objeto se deja caer” la velocidad inicial será siempre igual a cero  (v_o = 0).

Ejemplo:

Desde la parte alta de este moderno edificio se deja caer una pelota, si tarda 3 segundos en llegar al piso ¿cuál es la altura del edificio? ¿Con qué velocidad impacta contra el piso?

Veamos los datos de que disponemos:

v0= 0 m/s

t=3s

g=9.81 m/s2

h= x

Para conocer la velocidad final (vf), apliquemos la fórmula

vf = v0+g.t

vf = 0m/s+9.81m/s2.3s

vf= 29.43 m/s

Ahora, para conocer la altura (h) del edificio, aplicamos la fórmula:

h= v0.t+1/2g.t2

h= 0m/s.3s+1/2 (9.81m/s2).3s

h=0+1/2(9.81m/s2).9s2

h=1/2(88.29m)

h= 88.29/2 m

h=44.15m

Respuestas:

La pelota se deja caer desde una altura de 44,15 metros e impacta en el suelo con una velocidad de 29,43 metros por segundo.

Formulas:

Vf= v_o + g t

D=((vf + v_o)/2) t

Vf²= v_o² + 2gd

H= v_o t + ½ g t²

Vf = v_o – g t

G = 2 (h - v_o t)/ t²

T = √ 2h/g

G= vf² – v_o² / 2h

Ejercicios a resolver:

1.      Hallar la aceleración de la gravedad en un planeta conociendo que este cuando un cuerpo es soltado a 40 metros, tarda 10 segundos para golpear el suelo.

2.      ¿Con qué velocidad se debe lanzar un cuerpo hacia arriba para que logre una altura de 32 metros?

Concepto:

 La potencia es la cantidad de trabajo que se realiza por unidad de tiempo. Puede asociarse a la velocidad de un cambio de energía dentro de un sistema, o al tiempo que demora la concreción de un trabajo. Por lo tanto, es posible afirmar que la potencia resulta igual a la energía total dividida por el tiempo.

Se puede indicar que la potencia es la fuerza, el poder o la capacidad para conseguir algo. Por ejemplo: “Batistuta era un delantero con mucha potencia que siempre marcaba goles”, “El nuevo disco de la banda sueca muestra la potencia de su nuevo baterista”, “Creo que si golpeaba el balón con más potencia, hubiera conseguido otro punto.”

Ejemplo:

• Calcula la potencia de un motor que produce una fuerza de 55 newton para subir un metro de arena a una altura de 33 metros en 2 minutos:

-Tomando en cuenta que:
Trabajo= W
Distancia= d
Fuerza= F
Altura= H
Tiempo= t
Potencia=P


-Datos:

F=55 newton
H=33 metros
t= 2 minutos(120 segundos)

-Solucion:

W=d.f
W=33 metros*55 newton= 1,815 Joule
P= W/t
P=1,815 Joule/ 120 segundo
P= 15.125 Watt

Ejercicios a realizar:

1-Un coche de 2.000 kg de masa que arrastra un remolque de 150 kg mediante un cable de masa negligible se encuentra inicialmente en reposo. El coche arranca con una aceleración que se mantiene constante durante los primeros 10 segundos y la tensión del cable durante este tiempo vale 500 N. Suponiendo que la fricción de los neumáticos del coche y del remolque con el suelo equivale a una fuerza de rozamiento con coeficiente µ = 0,2 y que la fricción con el aire es negligible, calcula La fuerza de tracción y la potencia del motor del coche ocho segundos después de haberse iniciado el movimiento

2-Un esquiador de 70 kg de masa sube una pendiente nevada de 30º de inclinación con una velocidad constante v = 2 m/s mediante un remonte, tal y como se ve en la figura adjunta. El coeficiente de rozamiento entre el esquiador y la nieve vale µ = 0,02. Calcula La potencia que desarrolla el motor del remonte 

Magnitud: Trabajo(W)
Tipo: Magnitud escalar.
Unidad SI: Julio(J)
Otras unidades: Kilojulio(kj), Kilogrametro(kgm)

Es una cantidad escalar igual al producto de la magnitud del desplazamiento y la componente de la fuerza en dirección del desplazamiento.

En unidades del SI el trabajo se mide en esta unidad se llama joule (j). Un joule es igual al trabajo realizado por una fuerza de un newton al mover un objeto a través de una distancia paralela de un metro.

Formulas:

W= Trabajo

D= Distancia

T= Tiempo

F= Fuerza 

W=Fuerza x Distancia

D=Tiempo/Fuerza

W= FD cos °

Ejemplos 

1-Calcular el trabajo que realiza un cuerpo que se mueve con una fuerza de 18N, en una distancia de 10 metros.

W=?
F=18 N
d=10m
W=Fd
W=(18N)(10m)=180J

2- Calcular el trabajo de una fuerza de 50 N que se aplica con un ángulo de 30° con la horizontal que recorre 25 m.

W=?
F=50N cos 30°
d=25m
W=(Fcos0)d
W=(50N)(0.866)25 m)
W=1282.5 J